Suites, le cours
Exemple 2 : un=2nn2 pour n≥1.
La suite (un) à termes STRICTEMENT POSITIFS.
Évaluons, pour tout n≥1, la situation du quotient de deux termes consécutifs par rapport à 1 :
un+1un=2n+1(n+1)2×n22n=2n2(n+1)2.
Recherchons s'il existe des valeurs de l'entier n pour lesquelles le quotient ci-dessus est supérieur à 1 :
un+1un≥1⇔2n2(n+1)2≥1 (1)
(1) ⇔2n2≥(n+1)2 en effet , ici n∈N⋆ donc (n+1)2>0
(1) n2−2n−1≥0
On calcule alors les racines du trinôme n2−2n−1:
Δ=b2−4ac=8, et donc les racines de ce trinôme sont :n1=−b−√Δ2a=2−2√22=1−√2 et n2=−b+√Δ2a=1+√2.
Le trinôme étant du signe de a à l'extéreur des racines et de celui de −a à 'inérieur, on déduit:
un+1un≥1⇔n≥1+√2 et comme 1+√2≈2.42 , on a un+1un≥1⇔n≥3
La suite (un) est croissante pour n≥3.
Note : si l'on a pronostiqué le résultat (avec une calculatrice par exemple), on peut alors rédiger une solution
plus courte : pour n>3, on a :un+1un=2n2(n+1)2=2(nn+1)2
Or si n≥3 alors 1n≤13
En effet : x↦1x est srtictement déctoissante sur ]0;+∞[;
puis 1+1n≤1+13 soit n+1n≤43
puis par passage à l'inverse nn+1≥34,
en élévant au carrré x↦x2 est strictement croissante sur R+,
on a donc : (nn+1)2≥916 puis en multipliant par 2 qui est strictement psitif ;
il vient : 2×(nn+1)2≥1816; et donc un+1un≥1.
Exemple 3 : cas d'une suite définie par une somme : un=112+122+132+……+1n2 pour tout n∈N⋆
On a, pour tout n∈N⋆:un+1−un=1/(n+1)2
Donc pour tout n∈N⋆:un+1−un>0
Donc (un) est strictement croissante.
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