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Suites, le cours

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Exemple 2 : un=2nn2 pour n1.
La suite (un) à termes STRICTEMENT POSITIFS.
Évaluons, pour tout n1, la situation du quotient de deux termes consécutifs par rapport à 1 :
un+1un=2n+1(n+1)2×n22n=2n2(n+1)2.
Recherchons s'il existe des valeurs de l'entier n pour lesquelles le quotient ci-dessus est supérieur à 1 :
un+1un12n2(n+1)21 (1)

 

(1) 2n2(n+1)2 en effet , ici nN donc (n+1)2>0

(1) n22n10

On calcule alors les racines du trinôme n22n1:

Δ=b24ac=8, et donc les racines de ce trinôme sont :n1=bΔ2a=2222=12 et n2=b+Δ2a=1+2.

Le trinôme étant du signe de a à l'extéreur des racines et de celui de a à 'inérieur, on déduit:

un+1un1n1+2 et comme 1+22.42 , on a un+1un1n3

La suite (un) est croissante pour n3.
Note : si l'on a pronostiqué le résultat (avec une calculatrice par exemple), on peut alors rédiger une solution
plus courte : pour n>3, on a :un+1un=2n2(n+1)2=2(nn+1)2

Or si n3 alors 1n13
En effet : x1x est srtictement déctoissante sur ]0;+[;

puis 1+1n1+13 soit n+1n43
puis par passage à l'inverse nn+134,
en élévant au carrré xx2 est strictement croissante sur R+,
on a donc : (nn+1)2916 puis en multipliant par 2 qui est strictement psitif ;
il vient : 2×(nn+1)21816; et donc un+1un1.

Exemple 3 : cas d'une suite définie par une somme : un=112+122+132++1n2 pour tout nN

On a, pour tout nN:un+1un=1/(n+1)2
Donc pour tout nN:un+1un>0
Donc (un) est strictement croissante.

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