Raisonnement par récurrence
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Théorème : (principe du raisonnement par récurrence)
Théorème En langage mathématique
Si :
Si :
- n0∈N :P(n0) (initialisation)
- ∀p≥n0:P(p)⇒P(p+1) (hérédité)
Alors :
∀n≥n0, P(n)
En langue française
Si :
Si :
- La propriété est vraie à patir d'un certain rang n0 (initialisation)
- Pour tout rang p plus grand que n0, la propriété au rang p entraîne la propriété au rang p+1. (hérédité)
Alors :
La propriété est vraie pour tout rang n plus grand que n0.
Exercices
Exemple 1: somme des entiers impairs
Exercice 1 : On considère la suite (un) définie pour n≥1 par :un=n∑k=1(2k−1)
Démontrer que un=n2.
Exemple 2: somme des carrés
Exercice 2 : Démontrer que :n∑k=1k2=n(n+1)(2n+1)6.
Exemple 3: somme des cubes
Exercice 3 :Démontrer que :n∑k=1k3=(n∑k=1k)2=n2(n+1)24.
Exemple 4 : inégalité de Bernoulli
Exercice 4 : Démontrer que :∀x∈]−1;+∞[,∀n∈N,(1+x)n≥1+nx.
Exemple 5: Une somme télescopique
Exercice 5 : Démontrer que :n∑k=11p(p+1)=nn+1.
Exemple 6: Une dérivée nième
Exercice 6 :Démontrer que :∀n∈N,cos(n)(x)=cos(x+nπ2) et sin(n)(x)=sin(x+nπ2).
Exemple 7: Un produit remarquable
Exercice 7 :Démontrer que :∀x∈R,∀n∈N xn−an=(x−a)(xn−1+axn−2+...+an−1).
Exemple 8: Arithmétique
Exercice 8 : Démontrer que : ∀n∈N 3n+6−3n est divisible par 7.
Rappels de Première sur les suites arithmétiques et géométriques
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