Processing math: 8%

Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie juin 2019 - Correction Exercice 2

Page 4 sur 8: Correction Exercice 2

Correction de l'exercice 2 (6 points)


Fonctions


Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A


On considère la fonction f définie sur [0 ; 4[ par: f(x)=10x+ln(4x)ln4. On note Cf sa courbe représentative dans un repère.

    1. Calculer f(0).
    2. f(0)=10×0+ln(4)ln4=0

 

    f(0)=0.
      1. Déterminer lim.
      2. \left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 4^-}~(4-x)=0^+ \\ \lim\limits_{t \to 0^+}~ \ln t=-\infty \end{array}\right\}\; \text{ par composée }\lim\limits_{x \to 4^-}~ \ln(4-x)=-\infty

      \left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 4^-}~10x=40\\ \lim\limits_{x \to 4^-}~\ln(4-x)=-\infty\\ \lim\limits_{x \to 4^-}~-\ln 4= -\ln 4\end{array}\right\} \quad \text{ Par somme } \lim\limits_{x \to 4^-}~f(x)=-\infty
    1. En déduire que la courbe \mathcal{C}_f admet une asymptote dont on précisera une équation.
    2. \displaystyle\lim_{x\rightarrow 4^-}f(x)=-\infty, donc la droite d'équation x=4 est asymptote verticale à \mathcal{C}_f.
      1. On appelle f' la fonction dérivée de f sur l'intervalle [0~;~4[. Montrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle [0~;~4[, on a: f'(x) = \dfrac{39 - 10x}{4 - x}.
      2. f(x) = 10x + \ln( 4 - x) - \ln 4. donc \begin{array}{rll} f'(x)&=10+\dfrac{-1}{4-x} &\text{ car } \left (\ln u\right )'= \dfrac{u'}{u}\\ &&\\ & =10+\dfrac{1}{x-4}&\\ &&\\ &=\dfrac{10(x-4)}{x-4}+\dfrac{1}{x-4}&\\ &&\\ &=\dfrac{10x-40+1}{x-4}&\\ &&\\ &=\dfrac{10x-39}{x-4}&\\ &&\\ &= \dfrac{39 - 10x}{4 - x}&\\ \end{array} Ainsi, pour tout x appartenant à l'intervalle [0~;~4[, on a: f'(x) = \dfrac{39 - 10x}{4 - x}.
      3. Étudier le signe de f'(x) pour tout x appartenant à l'intervalle [0~;~4[.
      4. Pour tout x appartenant à l'intervalle [0~;~4[, on a 4-x>0, donc f'(x) a le signe de 39-10x. \begin{array}{llcrl} f'(x)=0&\iff 39-10x=0 &&f'(x) >0&\iff 39-10x>0\\ & \iff 10x=39&&&\iff 39 >10x\\ &\iff x=\dfrac{39}{10}&&&\iff x< \dfrac{39}{10} \end{array}
      5. Justifier que la fonction f atteint un maximum en 3,9. Donner une valeur approchée au dixième de ce maximum.
      6. On déduit le tableau de variation de f sur l'intervalle [0~;~4[.

    tabvar
      la fonction f atteint ainsi un maximum en \dfrac{39}{10}=3,9 qui vaut f(3,9) \begin{array}{rl} f(3,9) &= 10\times 3,9 + \ln( 4 - 3,9) - \ln 4 \\ & =39+\ln(0,1)-\ln 4\\ &=39-\ln\left (40\right )\\ &\approx 35,3 \end{array} La fonction f atteint un maximum en 3,9 qui vaut f(3,9)\approx 35,3.

 

Partie B


Un constructeur de voitures électriques affirme que ses modèles peuvent atteindre la vitesse de 100 km.h^{-1} en moins de 3 secondes. Pour vérifier cette affirmation, des journalistes ont testé une de ces voitures en réalisant l'essai suivant :

  • dans un premier temps, augmentation de la vitesse de 0 à 35,3 m.s^{-1} (soit environ 127 km.h^{-1}) en 3,9 s ;
  • dans un deuxième temps, stabilisation de la vitesse à 35,3 m.s^{-1}.

L'évolution de la vitesse en fonction du temps est représentée par le graphique ci-dessous:
vitesse
Durant la phase d'accélération, la vitesse de la voiture est modélisée par la fonction f étudiée dans la partie A et définie par : f(t) = 10t + \ln(4 - t) - \ln 4 \quad \text{avec }\:t \in [0~;~3,9]t est exprimé en seconde et f(t) est exprimée en m.s^{-1}.

      1. Calculer f(3).
      2. f(3) = 10\times 3 + \ln(1) - \ln 4=30-\ln 4
      3. L'affirmation du constructeur est-elle vérifiée ?
      4. Au bout de 3 secondes la vitesse est donc (30-\ln 4)m.s^{-1}, (soit environ (30-\ln 4)\times 3600\times 10^{-3}\approx 103 km.h^{-1}).

      L'affirmation du constructeur est donc vérifiée.
  1. La distance D, exprimée en mètre, parcourue durant la phase d'accélération est donnée par la formule : D = \displaystyle\int_0^{3,9} f(t)\: \text{d}t.
      1. On considère la fonction F définie sur [0~;~3,9] par: F(t) = 5 t^2 - t + (t - 4)\left [\ln ( 4 - t) - \ln 4 \right]. Montrer que la fonction F est une primitive de f.
      2. F est une primitive de f ssi F'=f

      \begin{array}{rll} F'(t)&= 5\times 2t -1+ 1\times \left [\ln ( 4 - t) - \ln 4 \right] +(t-4)\times \dfrac{-1}{4-t} & \text{ car } (uv)'=u'v+v'u\\ & =10t -1+ \ln ( 4 - t) - \ln 4+1&\\ &=10t + \ln ( 4 - t) -\ln 4&\\ &=f(t) \end{array} Ainsi F est une primitive de f .
    1. Calculer la distance D arrondie au dixième.
    2. \begin{array}{rl|crl} D &= \displaystyle\int_0^{3,9} f(t)\: \text{d}t &&&\\ &=\left [F(t)\right ] _0^{3,9}&&&\\ &=F(3,9)-F(0)&&&\\ F(3,9)&=5 \times 3,9^2 -3,9 + (3,9 - 4)\left [\ln ( 4 - 3,9) - \ln 4 \right] &F(0)&= 5 \times 0^2 - 0 + (0 - 4)\left [\ln 4 - \ln 4 \right]. \\ &=72,15-0,1\times \left (\ln ( 0,1) - \ln 4\right )&&=0\\ & =72,15+0,1\ln(40)&&\\ \end{array} D=72,15+0,1\ln(40)\approx 72,5
Exercice 3
Page
  • Vues: 18589

Rechercher