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Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2018 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (7 points)


Fonctions


skate
On a représenté ci-dessous une des faces latérales d'une rampe de skate-board que l'on souhaite peindre.
skate croquis
On sait de plus que la face latérale de cette rampe de skate-board admet comme axe de symétrie la médiatrice de [AB].

Partie A


On modélise la partie incurvée de la rampe située à gauche de l'axe de symétrie à l'aide de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~2] par : f(x)=(0,5x2+ax+b)exa et b sont deux réels que l'on souhaite déterminer. On a tracé ci-après la courbe représentative C de f dans un repère orthonormal d'unité 1 mètre.
Ex1
On sait que la courbe C passe par les points A(2 ; 0) et H(0 ; 2).

  1. Déterminer f(0) et f(2).
  2. La courbe C passe par le point H\,(0,2) donc f(0)=2. La courbe C passe par le point A\,(2,0) donc f(2)=0.
  3. Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels a et b.
  4. On sait que f(x)=(0,5x2+ax+b)ex.
    • f(0)=2(0,5×02+a×0+b)e0=2b=2
    • f(2)=0(0,5×22+a×2+b)e2=02+2a+b=0
    Les réels a et b vérifient donc le système {b22+2a+b0
  5. Déterminer l'expression de f(x).
  6. Le système précédent donne b=2 et a=2; donc f(x)=(0,5x22x+2)ex.

 

Partie B


On considère maintenant que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 2] par : f(x)=(0,5x22x+2)ex.

  1. Calculer f(x).
  2. f(x)=(0,5×2x2+0)ex+(0,5x22x+2)×(1)ex=(x20,5x2+2x2)exf(x)=(0,5x2+3x4)ex
  3. Montrer que la tangente à la courbe C au point A est l'axe des abscisses.
  4. La tangente à la courbe C au point A a pour équation y=f(xA)(xxA)+f(xA).
    xA=2 donc f(xA)=f(2)=(2+64)ex=0; de plus f(xA)=0.
    La tangente a pour équation y=0, c'est donc l'axe des abscisses.
  5. Justifier que le signe de f(x) est donné par le signe du trinôme 0,5x2+3x4.
  6. f(x)=(0,5x2+3x4)ex; or, pour tout réel X, eX>0. Donc f(x) est du signe du trinôme 0,5x2+3x4.
  7. En déduire le signe de f(x) puis le sens de variation de f sur [0 ; 2].
  8. On cherche le signe de f(x) donc de 0,5x2+3x4. Δ=324×(0,5)×(4)=98=1 Le trinôme admet deux racines x=312×(0,5)=4 et x=3+11=2. D'où le tableau de signes:

 tab signe
f(x)<0 sur [0 ; 2[ donc la fonction f est strictement décroissante sur [0 ; 2].

Partie C

 

  1. Justifier que la fonction f est positive sur l'intervalle [0 ; 2].
  2. La fonction f est strictement décroissante sur [0 ; 2] donc pour tout x de [0 ;~2], f(x). Or f(2)=0 donc la fonction f est positive sur [0~;~2].
  3. On admet que la fonction F définie par F(x) = \left(- \frac{1}{2}x^2 + x - 1\right)\text{e}^{-x} sur l'intervalle [0~;~2] est une primitive de la fonction f sur [0~;~2]. Montrer que l'aire en m^2 de la partie délimitée par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 2 est égale à 1 - \dfrac{1}{\text{e}^2}.
  4. L'aire en m^2 de la partie délimitée par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 2 est égale à \displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \text{d} x = F(2) - F(0) = \left ( \left(- \frac{1}{2}2^2 + 2 - 1\right)\text{e}^{-2} \right ) - \left ( \left(- \frac{1}{2} 0 + 0 - 1\right)\text{e}^{0}\right ) = -\text{e}^{^{-2}} +1 = 1 -\dfrac{1}{\text{e}^{2}}
  5. En déduire l'aire de la zone à peindre. On donnera une valeur approchée du résultat à 0,01 m^2 près.
  6. On découpe la surface à peindre en 5 surfaces.
    peinture
    • La région 1 est un rectangle de dimensions 1 sur 2 donc a une aire de 2~m^2.
    • L'aire de la région 2 a été calculée dans la question précédente: 1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}.
    • La région 3 est un rectangle de dimensions 0,2 sur 7 donc a une aire de 1,4~m^2.
    • Pour des raisons de symétrie, la région 4 a une aire égale à celle de la région 2.
    • Pour des raisons de symétrie, la région 5 a une aire égale à celle de la région 1.
    La région à peindre a pour aire, en m^2: 2+\left (1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}\right ) + 1,4 + \left (1-\dfrac{1}{\text{e}^{2}}\right ) + 2 = 7,4-\dfrac{2}{\text{e}^{2}}\approx 7,13.
Exercice 3
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