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Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2018 - Exercice 2

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Exercice 2 7 points


Fonctions


skate
On a représenté ci-dessous une des faces latérales d'une rampe de skate-board que l'on souhaite peindre.
skate croquis
On sait de plus que la face latérale de cette rampe de skate-board admet comme axe de symétrie la médiatrice de [AB].

Partie A


On modélise la partie incurvée de la rampe située à gauche de l'axe de symétrie à l'aide de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 2] par : f(x)=(0,5x2+ax+b)exa et b sont deux réels que l'on souhaite déterminer. On a tracé ci-après la courbe représentative C de f dans un repère orthonormal d'unité 1 mètre.
Ex1
On sait que la courbe C passe par les points A(2 ; 0) et H(0 ; 2).

  1. Déterminer f(0) et f(2).
  2. Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels a et b.
  3. Déterminer l'expression de f(x).

 

Partie B


On considère maintenant que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 2] par : f(x)=(0,5x22x+2)ex.

  1. Calculer f(x).
  2. Montrer que la tangente à la courbe C au point A est l'axe des abscisses.
  3. Justifier que le signe de f(x) est donné par le signe du trinôme 0,5x2+3x4.
  4. En déduire le signe de f(x) puis le sens de variation de f sur [0 ; 2].

 

Partie C

 

  1. Justifier que la fonction f est positive sur l'intervalle [0 ; 2].
  2. On admet que la fonction F définie par F(x)=(12x2+x1)ex sur l'intervalle [0 ; 2] est une primitive de la fonction f sur [0 ; 2]. Montrer que l'aire en m2 de la partie délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=2 est égale à 11e2.
  3. En déduire l'aire de la zone à peindre. On donnera une valeur approchée du résultat à 0,01 m2 près.

 

Correction Exercice 2
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