Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2018 - Exercice 2
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Exercice 2 7 points
On a représenté ci-dessous une des faces latérales d'une rampe de skate-board que l'on souhaite peindre.
On sait de plus que la face latérale de cette rampe de skate-board admet comme axe de symétrie la médiatrice de [AB].
Partie A
On modélise la partie incurvée de la rampe située à gauche de l'axe de symétrie à l'aide de la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 2] par : f(x)=(0,5x2+ax+b)e−x où a et b sont deux réels que l'on souhaite déterminer. On a tracé ci-après la courbe représentative C de f dans un repère orthonormal d'unité 1 mètre.
On sait que la courbe C passe par les points A(2 ; 0) et H(0 ; 2).
- Déterminer f(0) et f(2).
- Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels a et b.
- Déterminer l'expression de f(x).
Partie B
On considère maintenant que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 2] par : f(x)=(0,5x2−2x+2)e−x.
- Calculer f′(x).
- Montrer que la tangente à la courbe C au point A est l'axe des abscisses.
- Justifier que le signe de f′(x) est donné par le signe du trinôme −0,5x2+3x−4.
- En déduire le signe de f′(x) puis le sens de variation de f sur [0 ; 2].
Partie C
- Justifier que la fonction f est positive sur l'intervalle [0 ; 2].
- On admet que la fonction F définie par F(x)=(−12x2+x−1)e−x sur l'intervalle [0 ; 2] est une primitive de la fonction f sur [0 ; 2]. Montrer que l'aire en m2 de la partie délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=2 est égale à 1−1e2.
- En déduire l'aire de la zone à peindre. On donnera une valeur approchée du résultat à 0,01 m2 près.
Correction Exercice 2
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