Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Nouvelle-Calédonie 27 novembre 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 : 6 points

Suites

 

1. Une commune de 2 000 habitants au 1^er janvier 2018 voit sa population augmenter de 5 % tous les ans. Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$ : on a donc $h_0 = 2 000$.
   La suite $\left(h_n\right)$ est une suite géométrique. Exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
   La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de 16000 Mbit/s au 1^er janvier 2018 et à augmenter ce débit de 2,9 % par an. Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$. On modélise ainsi le débit par la suite $\left(d_n\right)$. On a alors $d_n = 16000 \times 1,029^n$.
2. On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle. Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$ et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$.
   1. Calculer $u_0$ et $u_1$.
   2. Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 8 \times 0,98^n$.
   3. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques.
   4. Déterminer la limite de la $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
3. Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau.
   1. On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer dans combien d'années le débit sera considéré comme insuffisant. $$\begin{array}{|l|}\hline U\gets 8\\ N \gets 0\\ \text{Tant que }\:U \ldots\\ \hspace{0.8cm}U \gets \ldots\\ \hspace{0.8cm}N \gets N+1~~~~~ \\ \text{Fin Tant que}\\ \hline \end{array}$$
   2. En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie?