Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL Polynésie 14 juin 2017

Exercice 1 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie. Dans tout l'exercice :

• on désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.
• $x \mapsto \text{e}^x$ désigne la fonction exponentielle.
• $x \mapsto \ln x$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. La forme exponentielle du nombre complexe $z: -1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ est:
   • A: $-2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
   • B: $2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
   • C: $\mathrm{i}\sqrt{3}- 1$
   • D: $\sqrt{3} \text{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
2. L'intégrale $\displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \text{e}^{-x}\mathrm{d}x$ est égale à :
   • A: $\ln2-1$
   • B: $\frac{1- \text{e}}{ \text{e}}$
   • C: $\frac{2- \text{e}}{2 \text{e}}$
   • D: $1-\ln2$
3. Si $f$ est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f (x)= 2x - \ln x$, alors :
   • A: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$
   • B: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= 0$
   • C: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=2$
   • D: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= \ln 2$
4. Soit $G$ la fonction définie pour tout réel $x$ strictement positif par $$G(x):x\ln x-x+2$$ $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0,~+\infty[$ par :
   • A:$g(x)=x\ln x-1$
   • B: $g(x) =\ln x+ 2x$
   • C: $g(x)=1-\frac{x^2}{2}+2x$
   • D: $g(x)= \ln x$

 

Correction de l'exercice 1 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie. Dans tout l'exercice :

• on désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.
• $x \mapsto \text{e}^x$ désigne la fonction exponentielle.
• $x \mapsto \ln x$ désigne la fonction logarithme népérien.

1. La forme exponentielle du nombre complexe $z: -1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ est:
   • A: $-2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
   • B: $2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
   • C: $\mathrm{i}\sqrt{3}- 1$
   • D: $\sqrt{3} \text{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
$$\begin{array}{cc} \text{Module}& \text{Argument}\\ \begin{array}{rl|rl} |z |&=\sqrt{a^2+b^2} \\ & =\sqrt{ 1^2+\sqrt{3}^2}\\ &=\sqrt 4\\ &= 2 \end{array}& \left\lbrace \begin{array}{l} \cos \theta=\frac{a}{r}~=-\frac{1}{2}\\ ~\sin \theta=\frac{b}{r}~=\frac{\sqrt 3}{2} \end{array} \right.\\ &\text{ Donc } \theta =\frac{2\pi}{3} \text{ convient } \end{array}$$ $$z= -1 + i\sqrt 3= 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3} \right) +i\sin \left(\frac{2\pi}{3} \right) \right)=2 \text{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$$
La bonne réponse est la B.
2. L'intégrale $\displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \text{e}^{-x}\mathrm{d}x$ est égale à :
   • A: $\ln2-1$
   • B: $\frac{1- \text{e}}{ \text{e}}$
   • C: $\frac{2- \text{e}}{2 \text{e}}$
   • D: $1-\ln2$
Soit $F$ une primitive de $f$:
$F(x)= -\text{e}^{-x}$ $$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \text{e}^{-x}\mathrm{d}x & = F(\ln 2)- F(1)\\ & =-\text{e}^{-\ln 2}-\left( -\text{e}^{-1}\right) \\ &=-\frac{1}{\text{e}^{\ln 2}}+\frac{1}{\text{e}}\\ &= -\frac{1}{2}+\frac{1}{\text{e}}\\ &= -\frac{\text{e}}{2\text{e}}+\frac{2}{2\text{e}}\\ &=\frac{2- \text{e}}{2 \text{e}} \end{array}$$ La bonne réponse est la C.
3. Si $f$ est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f (x)= 2x - \ln x$, alors :
   • A: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$
   • B: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= 0$
   • C: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=2$
   • D: $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= \ln 2$
On sait d'après le cours que $\lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x=-\infty$, donc $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~-\ln x=+\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~2x=0 \end{array}\right\} \quad \text{ Par somme } \lim\limits_{x \to 0^+}~2x-\ln x=+\infty$
La bonne réponse est la A.
4. Soit $G$ la fonction définie pour tout réel $x$ strictement positif par $$G(x):x\ln x-x+2$$ $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0,~+\infty[$ par :
   • A:$g(x)=x\ln x-1$
   • B: $g(x) =\ln x+ 2x$
   • C: $g(x)=1-\frac{x^2}{2}+2x$
   • D: $g(x)= \ln x$
$G$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
On écrit $G(x)= x \left( \ln x -1 \right) +2$ $G=u v +2 ,$ d'où $G'=u'v+v'u$ avec pour tout réel $x$, dans $]0;+\infty [$ :
$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x \\ v(x)~ =\ln x-1 \end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ = 1 \\ v'(x)~ =\dfrac{1}{x} \end{array}\right.$ $$\begin{array}{cl} G'(x)&=1\times \left( \ln x -1 \right) + \dfrac{1}{x}\times x\\ & = \ln x -1 +1 \\ &= \ln x \end{array}$$ $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0,~+\infty[$ par : $g(x)=\ln x$
La bonne réponse est la D.

Exercice 2 4 points

Probabilités

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.
En 2016, l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) affirme que 5,1 millions de personnes en France souffraient de diabète, soit 8% de la population. Chaque personne dispose d'un dossier médical régulièrement actualisé.

Partie A

Dans le cadre de la semaine nationale de prévention du diabète qui s'est tenue en 2016, une campagne de sensibilisation de cette maladie a été menée. Sur 85 dossiers médicaux prélevés au hasard, on a compté 3 cas de diabète.

1. Quelle est la fréquence de cas de diabète dans l'échantillon prélevé ?
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95% de la fréquence de cas de diabète sur cet échantillon de 85 dossiers. Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : $$I=\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]$$
3. L'échantillon est-il représentatif de la population française ? Justifier.

 

Partie B

Dans le corps humain, la régulation du taux de glycémie est assurée grâce à un équilibre permanent entre différentes substances principalement hormonales. Le tableau suivant présente trois états de la glycémie :

Hypoglycémie	À jeun : inférieur à 0,70 g/l
Glycémie normale	À jeun : entre 0,70 g/l et 1,10 g/l
Hyperglycémie	À jeun : supérieur à 1.10 g/l

On note $N$ la variable aléatoire qui, à chaque dossier médical prélevé au hasard dans la population, associe le taux de glycémie à jeun en g/l de la personne. On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne 0,9 et d'écart type 0,1.
Dans le cadre de cet exercice, on considère qu'une personne souffre de diabète si cette personne ne présente pas une glycémie normale à jeun.

1. Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hypoglycémie.
2. Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hyperglycémie.
3. Déterminer la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne souffrant de diabète.

 

Correction de l'exercice 2 (4 points)

Probabilités

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.
En 2016, l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) affirme que 5,1 millions de personnes en France souffraient de diabète, soit 8% de la population. Chaque personne dispose d'un dossier médical régulièrement actualisé.

Partie A

Dans le cadre de la semaine nationale de prévention du diabète qui s'est tenue en 2016, une campagne de sensibilisation de cette maladie a été menée. Sur 85 dossiers médicaux prélevés au hasard, on a compté 3 cas de diabète.

1. Quelle est la fréquence de cas de diabète dans l'échantillon prélevé ?
La fréquence de cas de diabète dans l'échantillon prélevé est $f=\dfrac{3}{85}$.
2. Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95% de la fréquence de cas de diabète sur cet échantillon de 85 dossiers. Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est : $$I=\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]$$

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $n =\2$ ,   $n \times p$=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\%$  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$  

Soit avec des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence de cas de diabète sur un échantillon de 85 dossiers est $I_{85}=[0,022;0,138]$.
3. L'échantillon est-il représentatif de la population française ? Justifier.
$f=\dfrac{3}{85}\approx 0.035$. La fréquence $f$ appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. On peut considérer que cet échantillon est représentatif de la population française.

 

Partie B

Dans le corps humain, la régulation du taux de glycémie est assurée grâce à un équilibre permanent entre différentes substances principalement hormonales. Le tableau suivant présente trois états de la glycémie :

Hypoglycémie	À jeun : inférieur à 0,70 g/l
Glycémie normale	À jeun : entre 0,70 g/l et 1,10 g/l
Hyperglycémie	À jeun : supérieur à 1.10 g/l

On note $N$ la variable aléatoire qui, à chaque dossier médical prélevé au hasard dans la population, associe le taux de glycémie à jeun en g/l de la personne. On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne 0,9 et d'écart type 0,1.
Dans le cadre de cet exercice, on considère qu'une personne souffre de diabète si cette personne ne présente pas une glycémie normale à jeun.

1. Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hypoglycémie.

2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hypoglycémie est égale à 0,023.
2. Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en hyperglycémie.
$P(N>1,1)=P(N>0,9+2\times 0,1)$. Par symétrie de la courbe représentative de la loi normale de moyenne $\mu=0,9$ et d'écart-type $\sigma=0,1$ on a : $P(N >1,1)=P(N < 0,7)\approx 0,023$ ou de façon plus direte :

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Arrondie au millième près, la probabilité que le dossier prélevé soit celui d ' une personne en hyperglycémie est égale à 0,023.
3. Déterminer la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne souffrant de diabète.
Une personne souffre de diabète si elle est en hypoglycémie en hyperglycémie soit $P(N<0,7\cup N>1,1)\approx 0,046$
Arrondie au millième près, la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne souffrant de diabète est égale à 0,046.

 

 

Exercice 3 6 points

Equations différentielles et Fonctions

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Une note de musique est émise en pinçant la corde d'une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de 100 watts, diminue avec le temps $t$, mesuré en seconde. On modélise par $f(t)$ la puissance du son émis, exprimée en watt, $t$ secondes après le pincement de la corde.

Partie A

On considère l'équation différentielle (E) suivante où $y$ est une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~,~ +\infty[$ et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$ : $$(\mathrm{E}): 25y'+ 3y = 0$$

1. Résoudre l'équation différentielle $25y' + 3y = 0$.
2. Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 100$.
3. Quelle est la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde ? Arrondir au watt près.

Pour la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $$f(t) = 100\text{e}^{-0.12t}$$

Partie B

On s'intéresse à l'instant à partir duquel la puissance du son émis après le pincement de la corde sera inférieure à $80$watts. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|} \hline \text{Initialisation}\\ a \text{ prend la valeur 0}\\ b \text{prend la valeur 5}\\ \text{Traitement}\\ \text{ Tant que } |b - a|> 0,2 \\ \hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} m \text{ prend la valeur } \frac{a+b}{2} \\ \hspace{1cm}\text{Si } f(m) > 80\\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} \hspace{0.5cm} a \text{ prend la valeur } m \\ \text{ Sinon }\\ \hspace{0.5cm} b \text{ prend la valeur } m \\ \end{array}\\ \hspace{1cm}\text{Finsi. }\\ \end{array}\\ \text{ Fintantque }\\ \textbf{Sortie}\\ \text{Afficher } a , b\\\hline \end{array}$$

1. À l'aide de l'algorithme ci-dessus, compléter le tableau ci-dessous et à rendre avec la copie. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a &0 &0 & & & &\\\hline b &5 &2,5& & & &\\\hline b-a &5 & & & & &\\\hline |b-a|>0,2 &\text{ Vrai } & & & & &\\\hline m &2,5 & & & & &\\\hline f (m) & 74,1 & & & & &\\\hline f(m) > 80 & \text{ Faux } & & & & &\\\hline \end{array}$$
2. Quelles sont les valeurs affichées en sortie de cet algorithme ?
3. Dans le contexte de cet exercice, que représentent ces valeurs ?

 

Partie C

 

1. Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=80$, on donnera la valeur exacte et la valeur approchée à $10^{-3}$ près Interpréter ce résultat
2. Calculer et interpréter la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.

 

Correction de l'exercice 3 (6 points)

Equations différentielles et Fonctions

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Une note de musique est émise en pinçant la corde d'une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de 100 watts, diminue avec le temps $t$, mesuré en seconde. On modélise par $f(t)$ la puissance du son émis, exprimée en watt, $t$ secondes après le pincement de la corde.

Partie A

On considère l'équation différentielle (E) suivante où $y$ est une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~,~ +\infty[$ et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$ : $$(\mathrm{E}): 25y'+ 3y = 0$$

1. Résoudre l'équation différentielle $25y' + 3y = 0$.
On met l'équation différentielle sous forme résolue : $y'=a y$ $$\begin{array}{rl} 25y' + 3y = 0&\iff 25 y'= -3 y \\ & \iff y'= -\dfrac{3}{25} y\\ & \iff y'= -0.12 y \end{array}$$ Les solutions de l'équation différentielle $y′=-0,12⁢y$ sont les fonctions définies pour tout réel $t$ par $t\mapsto k⁢\text{e}^{—0,12⁢t}$ où $k$ est une constante réelle quelconque.
2. Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 100$.
La condition $f⁡(0)=100$ équivaut à $k\text{e}^0=100$ d'où $k=100$
Ainsi, la fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f⁡(t)=100⁢\text{e}^{—0,12⁢t}$.
3. Quelle est la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde ? Arrondir au watt près.
$$\begin{array}{rl} f(2)&= 100⁢\text{e}^{—0,12\times 2}\\ & = 100⁢\text{e}^{—0,24}\\ &\approx 79 \end{array}$$
Arrondie au watt près, la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde est de 79 watts.

Pour la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : $$f(t) = 100\text{e}^{-0.12t}$$

Partie B

On s'intéresse à l'instant à partir duquel la puissance du son émis après le pincement de la corde sera inférieure à $80$watts. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l|} \hline \text{Initialisation}\\ a \text{ prend la valeur 0}\\ b \text{prend la valeur 5}\\ \text{Traitement}\\ \text{ Tant que } |b - a|> 0,2 \\ \hspace{0.5cm}\begin{array}{|l} m \text{ prend la valeur } \frac{a+b}{2} \\ \hspace{1cm}\text{Si } f(m) > 80\\ \hspace{1cm}\begin{array}{|l} \hspace{0.5cm} a \text{ prend la valeur } m \\ \text{ Sinon }\\ \hspace{0.5cm} b \text{ prend la valeur } m \\ \end{array}\\ \hspace{1cm}\text{Finsi. }\\ \end{array}\\ \text{ Fintantque }\\ \textbf{Sortie}\\ \text{Afficher } a , b\\\hline \end{array}$$

1. À l'aide de l'algorithme ci-dessus, compléter le tableau ci-dessous et à rendre avec la copie. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a &0 &0 & & & &\\\hline b &5 &2,5& & & &\\\hline b-a &5 & & & & &\\\hline |b-a|>0,2 &\text{ Vrai } & & & & &\\\hline m &2,5 & & & & &\\\hline f (m) & 74,1 & & & & &\\\hline f(m) > 80 & \text{ Faux } & & & & &\\\hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a &0 &0 &1,25 & 1,25&1,5625 &1,71875\\\hline b &5& 2,5& 2,5& 1,875& 1,875& 1,875\\\hline b-a &5 &2,5& 1,25 &0,625& 0,3125& 0,15625\\\hline |b-a|>0,2 &\text{ Vrai } &\text{ Vrai } &\text{ Vrai } & \text{ Vrai }&\text{ Vrai } &\text{ Faux }\\\hline m &2,5 &1,25& 1,875& 1,5625&1,71875 \\\hline f (m) & 74,1 &86,071& 79,852& 82,903 &81,363\\\hline f(m) > 80 & \text{ Faux } & \text{ Vrai }& \text{ Vrai }& \text{ Vrai }& \text{ Vrai }&\\\hline \end{array}$$
2. Quelles sont les valeurs affichées en sortie de cet algorithme ?
À la fin de l'exécution de cet algorithme les valeurs des variables $a$ et $b$ sont $a=1,71875$ et $b=1,875$.
3. Dans le contexte de cet exercice, que représentent ces valeurs ?
S'il existe un ou plusieurs instants, $t_i$ en seconde, à partir desquels la puissance du son émis après le pincement de la corde sera inférieure ou égale à 80 watts alors $1,71875\leq t_i\leq 1,875$.

 

Partie C

 

1. Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=80$, on donnera la valeur exacte et la valeur approchée à $10^{-3}$ près Interpréter ce résultat
$$\begin{array}{rll} f(t)>80& \iff 100\text{e}^{-0.12t} > 80&\\ & \iff \text{e}^{-0.12t} >0,8&\text{ en divisant par } 100> 0\\ & \iff \ln \left( \text{e}^{-0.12t}\right) > \ln(0,8) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff -0,12 t > \ln(0,8) & \text{ car } \ln\left( \text{e}^{a}\right) = a \\ & t< -\dfrac{\ln \left( 0,8 \right)}{0,12}& \text{ car on a divisé par } -0,12<0\\ \end{array}$$ Or $- \dfrac{\ln \left( 0,8 \right)}{0,12}\approx 1,186$
La puissance du son émis 1,86 secondes après le pincement de la corde sera égale à 80 watts.
2. Calculer et interpréter la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{t \to +\infty}~-0,12t=-\infty \\ \lim\limits_{X \to +\infty}~\text{e}^{X}=0 \end{array}\right\}\; \text{ par composée }\lim\limits_{t \to +\infty}~ \text{e}^{-0.12t} =0$ puis en multipliant par 80: $\lim\limits_{t \to +\infty}~f(t)=0$ d'où la puissance du son émis après le pincement de la corde sera quasi nulle à partir d'un certain temps.

 

Exercice 4 6 points

Suites

Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de 1240 renards à la fin de l'année 2016. On modélise par $u_n$ le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l'année $2016 + n$. On a donc $u_0 = 1240$.
On estime à 15% par an la baisse du nombre $u_n$. On suppose que cette évolution restera identique pour les années à venir.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

Partie A

 

1. Montrer qu'à la fin de l'année 2017 ,la population de renards sera de 1054 .
2. 1. Donner la valeur de $u_1$ puis calculer $u_2$.
   2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
   3. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser ses éléments caractéristiques.
3. Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l'année 2020.
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comment interpréter ce résultat ?
5. Des scientifiques considèrent que l'espèce des renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir du moment où le nombre de renards deviendra strictement inférieur à 100. À partir de quelle année l'espèce de renards présents dans le parc sera-t-elle en situation d'extinction ?

 

Partie B

Afin de préserver l'espèce, on décide d'introduire à chaque année 30 renards à partir de la fin de l'année 2017. On note $v_n$ le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l'année $2016 + n$. On estime à 15% par an la baisse du nombre $v_n$. On a $v_0= 1240$.

1. Calculer $v_1$.
2. Dans cette question, toute trace de réponse cohérente sera prise en compte.
   On admet que pour tout entier naturel $n$ on a $v_n = 200 + 1040 \times 0,85^n$. Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 ».

 

Exercice 4 5 points

Suites

Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de 1240 renards à la fin de l'année 2016. On modélise par $u_n$ le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l'année $2016 + n$. On a donc $u_0 = 1240$.
On estime à 15% par an la baisse du nombre $u_n$. On suppose que cette évolution restera identique pour les années à venir.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

Partie A

 

1. Montrer qu'à la fin de l'année 2017 ,la population de renards sera de 1054 .
$1240\times \left( 1- \dfrac{15}{ 100}\right) =1054$
À la fin de l'année 2017, la population de renards sera de 1054.
2. 1. Donner la valeur de $u_1$ puis calculer $u_2$.
   $u_1=1054$ et, $u_2=1054\times 0,85=895,9.$
   2. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a : $$u_{n+1} =u_n\times \left( 1- \dfrac{15}{ 100}\right) \iff u_{n+1} = 0,85 u_n$$
   3. En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser ses éléments caractéristiques.
   La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=1240$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = 0,85 u_n$ donc :
   $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $u_0=1240$.
3. Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à la fin de l'année 2020.
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=0,85$ et de premier terme $u_0=1240$ donc pour tout entier naturel $n, u_n=1240\times 0,85^n$.
$u_4=1240\times 0,85^4\approx 647,3$
Selon ce modèle, à la fin de l'année 2020, il y aura environ 647 renards présents dans le parc régional.
4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comment interpréter ce résultat ?
$0 < 0,85 < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}~0,85^n =0$ d'où, $\lim\limits_{n \to +\infty}~80\times 0,85^n =0$ . $\lim\limits_{n \to +\infty}~u_n =0$
5. Des scientifiques considèrent que l'espèce des renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir du moment où le nombre de renards deviendra strictement inférieur à 100. À partir de quelle année l'espèce de renards présents dans le parc sera-t-elle en situation d'extinction ?
On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation : $u_n <100$ $$\begin{array}{rll} u_n <100& \iff 1240\times 0,85^n <100&\\ & \iff 0,85^n < \dfrac{100}{ 1240} &\text{ en divisant par } 1240> 0 \\ & \iff \ln \left( 0,85^n \right) > \ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ &\iff n\ln (0,85)> \ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) & \text{ car } \ln\left( a^n\right) =n \ln a \\ & \iff n> \dfrac{\ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) }{\ln(0,85)} & \text{ car }0,85 < 1 \text{ donc } \ln(0,85) < 0 \\ \end{array}$$ Or $\dfrac{\ln \left( \dfrac{5}{ 62} \right) }{\ln(0,85)} \approx 15,5$. alors, le plus petit entier $n$ solution de l'inéquation $_n<100$ est $n=16$.
L'espèce de renards présents dans le parc sera en situation d'extinction à partir de 2032.

 

Partie B

Afin de préserver l'espèce, on décide d'introduire à chaque année 30 renards à partir de la fin de l'année 2017. On note $v_n$ le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l'année $2016 + n$. On estime à 15% par an la baisse du nombre $v_n$. On a $v_0= 1240$.

1. Calculer $v_1$.
$v_1=1240\times 0,85+30=1084$.
2. Dans cette question, toute trace de réponse cohérente sera prise en compte.
   On admet que pour tout entier naturel $n$ on a $v_n = 200 + 1040 \times 0,85^n$. Que pensez-vous de l'affirmation suivante : « Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 ».
   • Étudions le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$
     Pour tout entier $n\geq 1$ : $$\begin{array}{rl} v_{n+1}-v_n&=200 + 1040 \times 0,85^{n+1} -\left( 200 + 1040 \times 0,85^n\right) \\ & = 200 + 1040 \times 0,85^{n+1} -200-1040 \times 0,85^n\\ &=140\times 0,85^n \left( 0,85-1\right) \\ &= -156\times0,85^n \end{array}$$ Comme pour tout entier naturel $n$, on a $0,85^n > 0$ et $-156<0$ on en déduit que pour tout entier $n, v_{n+1}-v_n<0$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est strictement décroissante.
   • Etudions la limite de la suite $\left(v_n\right)$ :
     $0 < 0,85 < 1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}~0,85^n =0$ d'où, $\lim\limits_{n \to +\infty}~200 + 1040 \times 0,85^n =200$ ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty}~v_n =200$
     La suite $\left(v_n\right)$ est strictement décroissante et converge vers 200 donc l'affirmation : « Le nombre de renards va diminuer et se stabiliser vers 200 » est vraie.