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Bac STI2D Polynésie 9 juin 2016 - Correction Exercice 4

Page 8 sur 8: Correction Exercice 4

Exercice 4 6 points


Fonctions

 

Partie A : Lecture graphique


On considère la courbe C associée à une fonction f représentée en ANNEXE 2 avec la droite T, tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.

  1. Résoudre graphiquement sur l'intervalle [1 ; 1,5] et avec la précision permise par le dessin les deux inéquations suivantes:
    1. f(x)
    2. Les solutions de l'inéquation f(x)\geq 1 sont les abscisses des points situés au dessus de la droite d'équation y=1. On lit àla précision du dessin : \mathcal{S}= [-1; -0,8] \cup [0; +\infty[
    3. f'(x) \geqslant 0.
    4. D'après le graphique f est croissante sur [x(S); +1,5].
      L'ensemble des solutions de l'inéquation f'(x)\geq 0 est : \mathcal{S}= [-0,4; 1,5]
    1. Donner l'équation. de la tangente T à la courbe C au point de coordonnées (0 ; 1) en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées P(2 ; 7).
    2. T a une équation du type y=mx+p\begin{align*} m&=\dfrac{y_P-y_E}{x_P-x_E} \\ &= =\dfrac{4-1}{1-0} \\ &=3\\ \end{align*} Donc T: y=3x+p Comme E(1,0)\in T on déduit y_E=3x_E+p ce qui donne 1=3\times 0 + 1 soit p=1
    3. En déduire le nombre dérivé f'(0).
    4. f'(0) est le coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse 0
      d'après la question précédente f'(0)= 3.

 

Partie B : Étude de la fonction f


Soit f la fonction définie sur \mathbb R par la relation f(x) = \text{e}^{-2x} + 5x.

  1. Déterminer, en la justifiant, la limite de f en + \infty. On admet pour la suite que la limite de f en - \infty est + \infty.
  2. \left.\begin{array}{l} \lim\limits_{-2x \to +\infty} =-\infty\\ \lim\limits_{t \to -\infty}~\text{e}^t=0 \end{array}\right\} par composée on obtient: \lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^{-2x} =0
    \left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-2x} =0\\ \lim\limits_{ x \to +\infty}~5x=+\infty \end{array}\right\} par somme on obtient: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=+\infty
  3. Calculer f'(x) et étudier son signe sur \mathbb R.
  4. Comme \left(\text{e}^u\right)'=u'\text{e}^u, on obtient f'(x)=-2\text{e}^{-2x}+5 Etudions le signe de la dérivée :
    • \begin{align*} f'(x)=0 &\iff -2\text{e}^{-2x}+5=0 \\ &\iff - 2\text{e}^{-2x} =-5 \\ &\iff \text{e}^{-2x} = \dfrac{5}{2}\\ &\iff -2x =\ln\left (\dfrac{5}{2}\right )\\ &\iff x=-\dfrac{1}{2}\ln\left (\dfrac{5}{2}\right )\\ \end{align*}
    • \begin{align*} f'(x)>0 &\iff -2\text{e}^{-2x}+5>0 &\\ &\iff - 2\text{e}^{-2x} >-5 &\\ &\iff \text{e}^{-2x} < \dfrac{5}{2}& \text{en divisant par } -2< 0\\ &\iff -2x < \ln\left (\dfrac{5}{2}\right )&\text{en appliquant } \ln \text{strictement croissante sur }]0; +\infty[\\ &\iff x>-\dfrac{1}{2}\ln\left (\dfrac{5}{2}\right )&\text{en divisant par } -2< 0 \\ \end{align*}
  5. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur \mathbb R.
  6. On déduit le tableau de variations de f sur \mathbb R:

    f\left(-\dfrac{1}{2}\ln\left (\dfrac{5}{2}\right )\right ) =f(\alpha)=\text{e}^{-2\alpha} + 5\alpha
    Comme f'(\alpha)=0 on déduit -2\text{e}^{-2\alpha} + 5=0 donc \text{e}^{-2\alpha}=\dfrac{5}{2}
    Ainsi f(\alpha)=\dfrac{5}{2} - \dfrac{5}{2}\ln\left (\dfrac{5}{2}\right )
    1. Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l'équation f(x) = 2.
    2. D'après le tableau de variation de f l'équation f(x)=2 a deux solutions :
      • une notée x_1 dans ]-\infty; \alpha]
      • une autre notée x_2 dans [ \alpha; +\infty[
    3. Donner une valeur arrondie à 10^{-2} près de chaque solution.
    4. Avec les outils graphiques de la calculatrice on obtient :
      • x_1\approx 0,96
      • x_2\approx 0,29

 

Partie C. : Calcul d'aire


On admet :

  • que la courbe C de la partie A est la représentation de la fonction f définie dans la partie B ;
  • que la courbe C se situe « au-dessus » de la droite tangente T sur \mathbb R.

L'objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l'aire \mathcal{A} comprise entre la courbe C, la droite T et les droites verticales d'équations x = 0 et x = 1,5.

  1. Hachurer sur le dessin, en ANNEXE 2, l'aire \mathcal{A} que l'on veut déterminer.
    1. Déterminer une primitive de la fonction g définie sur \mathbb R par : \text{pour tout réel }\:x,\: g(x) = \text{e}^{-2x} + 2x - 1.
    2. On utilise deux résultats du cours :
      • La primitive d'une somme est la somme des primitives.
      • x\mapsto \text{e}^{ax} admat pour primitive x\mapsto \dfrac{1}{a}\text{e}^{ax}
      Donc une primitive G de g est définie sur \mathbb R par : \text{pour tout réel }\:x,\: G(x) =-\dfrac{1}{2} \text{e}^{-2x} + x^2 - x.
    3. Justifier que l'aire \mathcal{A} recherchée vaut, en unité d'aire: \mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{1,5} g(x)\:\text{d}x.
    4. Déterminons tout d'aboerd une équation de T:
      T: y=f'(0)(x-0)+f(0), ici f(0)=1 et f'(0)=3
      On déduit donc : T:y=3x+1 D'après l'énoncé la courbe C se situe « au-dessus » de la droite tangente T sur \mathbb R,
      L'aire \mathcal{A} est donc
      \begin{align*} \mathcal{A} &= \displaystyle\int_0^{1,5} \left(f(x)-y_T\right)\:\text{d}x\\ &= \displaystyle\int_0^{1,5} \left(f(x)-3x-1\right)\:\text{d}x\\ &= \displaystyle\int_0^{1,5} \left(\text{e}^{-2x} + 5x-3x-1\right)\:\text{d}x\\ &= \displaystyle\int_0^{1,5} \left(\text{e}^{-2x} + 2x -1\right)\:\text{d}x\\ &= \displaystyle\int_0^{1,5} g(x)\:\text{d}x. \end{align*}
    5. En déduire la valeur exacte puis l'arrondi à 10^{- 2} de \mathcal{A}.

    6. \begin{align*} \mathcal{A} &= \displaystyle\int_0^{1,5} g(x)\:\text{d}x.\\ &=G(1,5)-G(0)\\ G(1,5)=-\dfrac{1}{2} \text{e}^{-2\times 1,5} + 1,5^2 - 1,5=-\dfrac{1}{2} \text{e}^{-3}+0,75 &\quad G(0)=-\dfrac{1}{2} \text{e}^{-2\times 0} + 0^2 - 0=-0,5\\ \mathcal{A} &= -\dfrac{1}{2} \text{e}^{-3}+0,75+0,5\\ \mathcal{A} &= -\dfrac{1}{2} \text{e}^{-3}+\dfrac{5}{4}\\ &\approx 1,23\end{align*}

 

 

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