Baccalauréat Polynésie 11 septembre 2014 STI2D--STL spécialité SPCL - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (6 points)

Fonction exponentielle et équation différentielle

Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé « alcoolémie » et est mesuré en grammes par litre (g/L). Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur $\mathbb R_{+}$ par : $$f(t) = 2,5t\text{e}^{- t}.$$

Partie A

1. Donner la valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures.
$f(2)=2,5\times 2\times e{-2}\approx 0,68$
Au bout de 2 heures, l'alcoolémie de la personne considérée est d'environ 0,68 g/L.
2. Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,  $f'(t) = 2,5(1 - t)\text{e}^{- t}$.

$f$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : 

$f=uv$ d'où $f'=u' v+uv'$ avec pour tout réel $x$ :
$$\left\{ \begin{array}{l} u(t)~ =2,5t \\ v(t)~ =\text{e}^{- t} \end{array}\right.$$ d'où : $$\left\{ \begin{array}{l} u’(t)~ =2,5 \\ v'(t)~ =-\text{e}^{- t} \end{array}\right.$$

Ainsi :
  $$f’(t)=2,5 \times \text{e}^{- t} +2,5t \times \left( -\text{e}^{- t}\right)$$

$$f’(t)=2,5(1-t)\text{e}^{-t}$$
La dérivée de la fonction $f$ est la fonction $f’$ définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0;+\infty[$ par $f’(t)=2,5(1−t)\text{e}^{-t}$.
3. Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : $$(E) :\qquad y' + y = 2,5\text{e}^{- t}.$$
$$\begin{array}{ll} f’(t)+f(t)&=2,5(1−t)\text{e}^{-t}+2,5t\text{e}^{-t}\\ &= 2,5 \text{e}^{- t} \end{array}$$
La fonction f est une solution de l'équation différentielle (E).
4. En remarquant que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a $f(t) = \dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}$, déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$ et donner une interprétation géométrique de cette limite.
$\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{\text{e}^{t}}{t}=+\infty$, donc par inverse : $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{t}{\text{e}^{t}}=0$, puis $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}=0$
$\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)=0$ par conséquent, la courbe représentative de la fonction $f$ admet pour asymptote l'axe des abscisses au voisinage de $+ \infty$.
5. Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
Le sens de variation de $f$ est donné par le signe de la dérivée $f’$; or $f’(t)=2,5(1-t)\text{e}^{-t}$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ ; le signe de $f′(t)$ ne dépend que de celui de $1-t$. On obtient donc le tableau de variations suivant :

6. Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ?
Le maximum de la fonction $f$ est atteint pour $t=1$ et, $$f(1)=2,5\times \text{e}^{-1}\approx 0,92$$
L'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée est d'environ 0,92 g/L.

Partie B

1. Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées.

2. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5 g/L. Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12 h, à partir de quelle heure pourra-t-elle reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure ? On utilisera la représentation graphique de la fonction $f$.
Avec la précision permise par un graphique tracé à main levée, on constate que la courbe représentative de la fonction $f$ est en dessous de la droite d'équation $y=0,5$ sur un intervalle d'amplitude 1 pour $t>2,5$. Or $f(2,5)\approx 0,513$ et $f(2,55)\approx 0,498$
Cette personne pourra reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure à partir de 14 heures trente-cinq minutes.