Baccalauréat STI2D NOUVELLE CALÉDONIE Mars 2014 2013 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

Nombres complexes

On note $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: $$z_{1} = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = e^{- \mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}.$$

1. Déterminer l'écriture exponentielle de $z_{1}$.
L'écriture exponentielle d'un nombre complexe est $\rho e^{i\theta}$ où $\rho$ est son module et $\theta$ son argument.
• Module : $|z_1|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=2$
• Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= \dfrac{1}{2 }\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}= = \dfrac{\sqrt 3}{ 2} \end{array} \right.$$
Ainsi $\theta= \dfrac{\pi}{3}$ convient; on a donc: $$z_1=\left[2 ; \dfrac{\pi}{3}\right] \text{ ou } z_1=2 \left [\cos\left ( \dfrac{\pi}{3}\right )+i\sin\left ( \dfrac{\pi}{3}\right )\right ]= 2e^{ i\frac{ \pi}{3}}$$
2. Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$.
$z_2= e^{-i \frac{\pi}{4}}=\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+ i\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)$. $$z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ .
3. Démontrer que $z_{1} \times z_{2} = 2z_{3}$.
Démontrons que $z_{1} \times z_{2} = 2z_{3}$. $z_1 \times z_2=\rho_1\rho_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$.
Par conséquent $z_1z_2=2 e^{i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)}=2e^{i\frac{\pi}{12}}=2z_3$.
4. En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$.
Formons l'écriture algébrique de $z_{3}$.

$z_3=\cos (\frac{\pi}{12})+ i \sin (\frac{\pi}{12})$. $$\begin{array}{ll}2z_3&=(1+i\sqrt{3})\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}+i\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ &=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}+i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{array}$$ $$z_3=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+i\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$
5. En déduire que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
Calculons alors $\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{\pi}{12}\right)$

$\cos \left(\frac{\pi}{12}\right) +i \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
Nous en déduisons donc $\cos \left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ et $\sin \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.