Baccalauréat STI2D Métropole Juin 2013

Exercice 1 5 points

Probabilités

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée. La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

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1. Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités. Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 98 & 0,0000165 \\ \hline 98,5 & 0,00024299 \\ \hline 99 & 0,01002045 \\ \hline \end{array}$$

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 99,5 & 0,12245722 \\ \hline 100 & 0,50000000 \\ \hline 100,5 & 0,87754278 \\ \hline \end{array}$$

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 101 & 0,9899755 \\ \hline 98,5 & 0,99975701 \\ \hline 99 & 0,99999835 \\ \hline \end{array}$$

   Les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près.
   Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.}
   1. Déterminer la probabilité de l'évènement « $X > 99$ » .
   2. Déterminer la probabilité de l'évènement « $99 \leqslant X \leqslant 101$ ».
   3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre 99 grammes et 101 grammes. Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
2. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pots conformes dans la production est 98 $\,\%$.
   1. L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille $n$ est $$I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$$ Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille 120.
   2. On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de 120 pots de manière aléatoire. Au cours d'un de ces contrôles, un technicien compte 113 pots conformes. En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, prendra-t-on la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production?

 

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Probabilités

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée. La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

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1. Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités. Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 98 & 0,0000165 \\ \hline 98,5 & 0,00024299 \\ \hline 99 & 0,01002045 \\ \hline \end{array}$$

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 99,5 & 0,12245722 \\ \hline 100 & 0,50000000 \\ \hline 100,5 & 0,87754278 \\ \hline \end{array}$$

   $$\begin{array}{|c|c|} \hline a & P(X \leq a) \\ \hline 101 & 0,9899755 \\ \hline 98,5 & 0,99975701 \\ \hline 99 & 0,99999835 \\ \hline \end{array}$$

   Les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près.
   Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.}
   1. Déterminer la probabilité de l'évènement « $X > 99$ » .

   2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , \1,$10^{99}$$\3$)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

   $$P( \5 > \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
    
   2. Déterminer la probabilité de l'évènement « $99 \leqslant X \leqslant 101$ ».

   2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
   Avec une calculatrice de type TI

   $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

   $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

    

   3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre 99 grammes et 101 grammes. Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
   Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
   Notons $C$ :« Le pot est jugé conforme » $C=99\leq X \leq 101$
   On veut calculer $P(\overline{C})=1-P(C)=1-P(99\leq X \leq 101)\approx 1-0,9799\approx 0,02$
   La probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme est environ 0,02.
2. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pots conformes dans la production est 98 $\,\%$.
   1. L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille $n$ est $$I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$$ Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille 120.

   La proportion $p$ est égale à $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à $\2.$
   Comme $n =\2$ , $n \times p$=\3 et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique ne sont pas sont réunies !

   En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ mais } n\times (1-p) < 5$$

   
   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$

    
   $$I_{120} \approx [0,954, 1.006]$$
   2. On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de 120 pots de manière aléatoire. Au cours d'un de ces contrôles, un technicien compte 113 pots conformes. En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, prendra-t-on la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production?
   On constate que $f =\dfrac{113}{120}\approx 0,941$ n'appartient pas à $[0,954, 1.006]$.
   On en déduit qu'au seuil de décision de 5 $\%$, on rejette l'hypothèse de 98$\%$ de pots conformes dans la production: on prend la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production.

Exercice 2 5 points

Fonctions exponentielles

On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22 h. La température y est alors de 20° C.
Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l'énergie dissipée à l'extérieur, au cours de la nuit, de 22h à 7h le lendemain matin.
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11 ° C. On désigne par $t$ le temps écoulé depuis 22h, exprimé en heures, et par $f(t)$ la température de la pièce exprimée en ° C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;9]$

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Partie A :

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1. Prévoir le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;9]$. On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0;9]$ par $f(t) = 9 e^{-0,12t} + 11$.
2. Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.
3. Calculer $f(9)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.
4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15° C.
5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.

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Partie B :

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Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction $g$ telle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0;9]$, $$g(t) = 0,7e^{-0,12t}.$$ L'énergie $\mathcal{E}$ ainsi dissipée entre 22h et 7h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale $$\mathcal{E} = \int_{0}^9 g(t)\:\mathrm{d}t.$$

1. Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée.
2. En déduire une valeur arrondie de $\mathcal{E}$ à $0,1$kWh près.

 

Correction de l'exercice 2 (5 points)

Fonctions exponentielles

On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22 h. La température y est alors de 20° C.
Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l'énergie dissipée à l'extérieur, au cours de la nuit, de 22h à 7h le lendemain matin.
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11 ° C. On désigne par $t$ le temps écoulé depuis 22h, exprimé en heures, et par $f(t)$ la température de la pièce exprimée en ° C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;9]$

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Partie A :

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1. Prévoir le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;9]$.
On éteint le chauffage, donc la température sera une fonction décroissante du temps sur l'intervalle [0,9],de 22 h à 7 h le lendemain matin.
On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0;9]$ par $f(t) = 9 e^{-0,12t} + 11$.
2. Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.
On étudie le signe de la dérivée:
Comme $f(t)=9 e^{-0,12t} +11$, on déduit $f'(t)=9\times (-0,12)e^{-0,12t}=-1,08e^{-0,12t}$.
On a utilisé la formule de dérivation $(e^u)'=u'e^u$.
La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$ et $-1,08 < 0$ donc $f ' (t) < 0$,
ce qui prouve que $f$ est une fonction décroissante du temps sur l'intervalle [0,9].
3. Calculer $f(9)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.
$f(9)=9e^{-0,12\times 9} +11=9e^{-1,08} +11\approx 14,1^{\circ}$C.
4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15° C.
On trace la courbe d'équation $y=9 e^{-0,12x} +11$, la droite d'équation $y=15$ et on utilise l'outil intersection.

On voit ainsi que la température est inférieure à 15$^{\circ}$C pour $t\approx 6,75$, c'est à dire à 4 h 45 min environ.
5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.
On résout $f(t)<15$ $$\begin{array}{lll}f(t) < 15 & \Leftrightarrow 9 e^{-0,12t} +11 < 15& \\ & \Leftrightarrow 9 e^{-0,12t} < 4 &\\ & \Leftrightarrow e^{-0,12t}<\dfrac{4}{9} & \text{ On applique la fonction } \ln \\ &&\text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ :\\ & \Leftrightarrow \ln \left (e^{-0,12t}\right ) < \ln \left (\dfrac{4}{9}\right )&\\ & \Leftrightarrow -0,12 t <\ln \left (\dfrac{4}{9}\right )&\\ & \Leftrightarrow t >-\dfrac{\ln \left (\dfrac{4}{9}\right )}{0,12}& \end{array}$$ $-\dfrac{\ln \left (\dfrac{4}{9}\right )}{0,12}\approx 6,7577$
l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15$^{\circ}$C est environ 4 heures 45 minutes et 28 secondes.

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Partie B :

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Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction $g$ telle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0;9]$, $$g(t) = 0,7e^{-0,12t}.$$ L'énergie $\mathcal{E}$ ainsi dissipée entre 22h et 7h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale $$\mathcal{E} = \int_{0}^9 g(t)\:\mathrm{d}t.$$

1. Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée.
On calcule une primitive $G$ de $g$:
$$\begin{array}{rl } G(t)&=0,7\times \dfrac{e^{-0,12t}}{-0,12}\\ &=-\dfrac{7}{12}e^{-0,12t}\\ \mathcal{E}&=\int_{0}^{9} g(t)\;dt \\ &=G(9)-G(0)\\G(9)&=-\dfrac{7}{12}e^{-0,12\times 9}\\ &=-\dfrac{7}{12}e^{-1,08}\\ G(0) & =-\dfrac{7}{12}e^{0}\\&=-\dfrac{7}{12}\\ \mathcal{E}&=G(9)-G(0)\\ &=-\dfrac{7}{12}e^{-1,08}+\dfrac{7}{12} \end{array}$$
$\mathcal{E}=\dfrac{7}{12}\left (1-e^{-1,08}\right )kWh$
On a utilisé le fait que $t\mapsto e^{at}$ a pour primitives $t\mapsto \dfrac{e^{at}}{a}+C$
2. En déduire une valeur arrondie de $\mathcal{E}$ à $0,1$kWh près.
$\mathcal{E}=\dfrac{7}{12}\left (1-e^{-1,08}\right )kWh\approx 3,9\; kWh$

 

Exercice 3 4 points

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

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Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

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1. Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = \sqrt{6} - \mathrm{i}\sqrt{2}$ est :
   1. $z = 4e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $z = 2\sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   3. $z = 4e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
   4. $z = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$

   ---

2. Si $z_{1} = 3\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$, alors le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ vaut :
   1. $3\sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}$
   2. $3 e^{- 2\mathrm{i}\pi}$
   3. $3\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$
   4. $3e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$

   ---

3. On considère l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$, où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
   1. $f(x) = 4 e^{9x}$
   2. $f(x) = - 0,2 e^{- 9x}$
   3. $f(x) = 7 \cos (9x) - 0,2 \sin (9x)$
   4. $f(x) = 0,7\sin (3x)$

   ---

4. On considère l'équation différentielle $y' + 7y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation telle que $f(0) = 9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
   1. $f(x) = 9e^{7x}$
   2. $f(x) = 9e^{- 7x}$
   3. $f(x)= - 9e^{7x}$
   4. $f(x) = - 9e^{- 7x}$

 

Correction de l'exercice 3 (4 points)

QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

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Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

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1. Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = \sqrt{6} - \mathrm{i}\sqrt{2}$ est :
   1. $z = 4e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   2. $z = 2\sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
   3. $z = 4e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$
   4. $z = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$
Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z=\sqrt{6}-i\sqrt{2}$ est:
• Module : $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
• Argument: $$\left\{ \begin{array}{l } \cos(\theta)=\dfrac{a}{r}= \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt 3}{ 2}\\ \sin(\theta)=\dfrac{b}{r}= -\dfrac{\sqrt 2}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{ 2} \end{array} \right.$$
Ainsi $\theta=-\dfrac{\pi}{6}$ convient; on a donc: $$z=[2\sqrt{2};-\dfrac{\pi}{6}] \text{ ou } z=2\sqrt{2}\left [\cos\left (-\dfrac{\pi}{6}\right )+i\sin\left (-\dfrac{\pi}{6}\right )\right ]=2\sqrt 2e^{-i\frac{ \pi}{6}}$$
2. Si $z_{1} = 3\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{6}}$, alors le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ vaut :
   1. $3\sqrt{2}e^{-\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}$
   2. $3 e^{- 2\mathrm{i}\pi}$
   3. $3\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$
   4. $3e^{\mathrm{i}\frac{13\pi}{12}}$
Si $z_1=3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $z_2=\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$ alors le quotient $\dfrac{z_1}{z_2}$ vaut: $$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}}=3e^{i\dfrac{\pi}{4}+i\frac{5\pi}{6}}=3e^{i\frac{13\pi}{12}}$$
3. On considère l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$, où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
   1. $f(x) = 4 e^{9x}$
   2. $f(x) = - 0,2 e^{- 9x}$
   3. $f(x) = 7 \cos (9x) - 0,2 \sin (9x)$
   4. $f(x) = 0,7\sin (3x)$
En effet l'équation différentielle $y''+9y=0$ est du type $y''+\omega ^2 y= 0$ où $\omega ^ 2=9$ donc $\omega =3$
La solution générale de cette équation différentielle est $y=A\cos(3x)+B\sin(3x)$. $f(x)=0,7 \sin(3x)$ est de ce type avec $A=0$ et $B=0,7$.
4. On considère l'équation différentielle $y' + 7y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation telle que $f(0) = 9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
   1. $f(x) = 9e^{7x}$
   2. $f(x) = 9e^{- 7x}$
   3. $f(x)= - 9e^{7x}$
   4. $f(x) = - 9e^{- 7x}$
En effet l'équation différentielle $y'+7y=0$ s'écrit $y'=-7y$ . Elle est du type $y'=ay$ où $a=-7$.
La solution générale de cette équation différentielle est $y=Ce^{-7x}$.
$$f(0)=9\Leftrightarrow C e^{0}=9 \Leftrightarrow C=9.$$ La solution $f$ de cette équation telle que $f(0)=9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$: $f(x)=9e^{-7x}$

 

Exercice 4 6 points

Suites

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• La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.
• En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $1900$ km ; sa puissance électrique initiale est de $6400$MW ; le courant est transporté sous une tension de 800 kV.

---

Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3$\,\%$ pour une distance de 100kilomètres.

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Partie A :

---

On note $p_{0} = 6400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de 100km.

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1. Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$.
2. Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$km ?
3. Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.

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Partie B :

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On considère l'algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{ll} \text{variables} : &\\ & n \text{: un nombre entier naturel}\\ &q \text{ : un nombre réel}\\ & p \text{: un nombre réel}\\ \text{entrée} : &\\ & \hspace{5mm} \text{Saisir } n \\ \ \text{initialisation} :&\\ & \hspace{5mm} \text{Affecter à } p \text{ la valeur 6400}\\ &\text{Affecter à } q \text{ la valeur 0,997}\\ \text{traitement} : &\\ & \hspace{5mm} \text{ Répéter } n \text{ fois}\\ &\hspace{1cm} \text{ Affecter à } p \text{ la valeur} p \times q \\ \text{sortie} : &\\ & \hspace{5mm} \text{ Afficher } p \end{array}$$

1. On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$. Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut). $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & n & p & q \\ \hline \text{Entrées et initialisation }& 3 & 0,997& 6400 \\ \hline 1 ^{\text{er}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & \\ \hline 2 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &  \\ \hline 3 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & \\ \hline \end{array}$$
2. Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme.
3. Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$km ?

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Partie C :

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1. Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ?
2. D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude. On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7 $\,\%$ sur ces lignes.
   1. La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ?
   2. Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 $\,\%$.

 

Exercice 4 6 points

Suites

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• La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.
• En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $1900$ km ; sa puissance électrique initiale est de $6400$MW ; le courant est transporté sous une tension de 800 kV.

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Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3$\,\%$ pour une distance de 100kilomètres.

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Partie A :

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On note $p_{0} = 6400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de 100km.

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1. Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$.
$p_1=p_0-0,3\,\% p_0=\left(1-0,003\right)p_0=0,997p_0$
2. Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$km ?
On veut donc calculer $p_2=p_1-0,3\% p_1=0,997p_1=0,997 \times 0,997p_0=0,997^2\times 6400\approx 6361$
La puissance électrique au MW près par défaut restant au bout de 200 km est 6361 MW.
3. Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
$p_{n+1}=p_n-0,3\%p_n=\left (1-0,003\right)p_n=0,997p_n$.
Comme pour tout entier $n$ on a $p_{n+1}=0,997p_n$ :
la suite $(p_n)$ est géométrique de premier terme $p_0=6400$ et de raison $q=0,997$.
D'après le cours $p_n=q^n\times p_0=0,997^n\times 6400$
$p_n= 0,997^n\times 6400$

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Partie B :

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On considère l'algorithme ci-dessous : $$\begin{array}{ll} \text{variables} : &\\ & n \text{: un nombre entier naturel}\\ &q \text{ : un nombre réel}\\ & p \text{: un nombre réel}\\ \text{entrée} : &\\ & \hspace{5mm} \text{Saisir } n \\ \ \text{initialisation} :&\\ & \hspace{5mm} \text{Affecter à } p \text{ la valeur 6400}\\ &\text{Affecter à } q \text{ la valeur 0,997}\\ \text{traitement} : &\\ & \hspace{5mm} \text{ Répéter } n \text{ fois}\\ &\hspace{1cm} \text{ Affecter à } p \text{ la valeur} p \times q \\ \text{sortie} : &\\ & \hspace{5mm} \text{ Afficher } p \end{array}$$

1. On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$. Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut). $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & n & p & q \\ \hline \text{Entrées et initialisation }& 3 & 0,997& 6400 \\ \hline 1 ^{\text{er}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & \\ \hline 2 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &  \\ \hline 3 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &  \\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & n & p & q \\ \hline \text{Entrées et initialisation }& 3 & 0,997& 6400 \\ \hline 1 ^{\text{er}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & &6380 \\ \hline 2 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & 6361 \\ \hline 3 ^{\text{e}} \text{ passage dans la boucle de l'algorithme } & & & 6342 \\ \hline \end{array}$$ On obtient $p_3\approx 6342$
La puissance électrique au MW près par défaut restant au bout de 300 km est 6342 MW.
2. Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme.
3. Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$km ?

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Partie C :

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1. Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ?
$$p_{19}=0,997^{19}\times 6400\approx 6044 \;MW$$
2. D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude. On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7 $\,\%$ sur ces lignes.
   1. La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ?
   La perte de puissance est $100-\dfrac{6044}{6400}\approx 5,6\%$.
   La ligne Xiangjaba -Shangaï répond à cette contrainte !
   2. Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 $\,\%$.
   On cherche le plus grand entier $n$ tel que $1-\dfrac{0,997^n\times 6400}{6400}\leq 0,07$
   $$\begin{array}{lll} 1-\dfrac{0,997^n\times 6400}{6400}\leq 0,07 &\Leftrightarrow 0,997^n \geq 0,93 \;&\\ & \Leftrightarrow \ln \left (0,997^n\right ) \geq \ln(0,93) & \text{ On applique la fonction } \ln \\ &&\text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ :\\ & \Leftrightarrow n\ln \left (0,997 \right ) \geq \ln(0,93)&\\ & \Leftrightarrow n\ln \leq \dfrac{\ln(0,93)}{\ln \left (0,997 \right ) }& \text{ en effet } 0,997 < 1 \text{donc } \ln \left (0,997 \right ) < 0 \\ \end{array}$$ $$\dfrac{\ln(0,93)}{\ln \left (0,997 \right ) }\approx 24,15$$ $n=24$ et donc
   à cent kilomètres près, 2400 km est la longueur maximale d'une ligne pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à $7\%$