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Continuité

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Limite d'une suite et fonction continue

1. Théorème Suites et applications continues

Soitf une fonction continue sur un intervalle I.
Soit(un) une suite d'éléments de I qui converge vers un réel lI.
Alors la suite f(un) converge vers f(l), autrement dit :limn+f(un)=f(l).

 

L'idée de ce théorème est que pour que l'on puisse permuter les symboles f et lim, il suffit que f soit continue.

Exemples

Exemple 1 : cas où f est continue. Déterminer la limite de la suite (vn) définie, pour nN, par :vn=n.sin(1n)

Remarque: Cette suite est bien définie; en effet on a n1 ; ainsi 0<1n1; puis sin(1n)1 car sin(t)1 si t]0;1].
Ecrivons : nsin(1n)=sin(1n)1n


Or, on sait que limx0(sinxx)=1
donc : limn+(sin(1n)1n)=1

D'où : limn+nsin(1n)=1

Par ailleurs, l'application xx est continue en 0, par conséquent :
limn+nsin(1n)=1=1

Exemple 2 : cas où f n'est pas continue. Déterminer la limite de la suite (vn ) définie, pour nN, par : vn=E(11n)


On sait que :limn+(11n)=1

Malheureusement, la fonction E n'est pas continue en 1. Le théorème précédent ne peut donc s'appliquer... Et la suite (vn) ne converge pas vers 1 mais vers 0. En effet, pour tout nN, on a :
011n<1
Donc, pour tout nN : E(11n))=0

La suite (vn) est donc constante égale à 0. Donc sa limite est 0.

 

Exemple 3 : utilisation du théorème pour prouver, par l'absurde, qu'une fonction n'est pas continue. Soit l[1,1]. Soit f la fonction définie sur R par : f(x)={λ si x=0sin(1x) si x0 .Démontrer que f n'est pas continue en 0.


On considère les deux suites (un) et (vn) définies par : un=1π2+2n.π et vn=1π2+2n.π

On a :limn+un=0 et :limn+vn=0

Or, f(un)=sin(π2+2n.π)=1 etf(vn)=sin(π2+2n.π)=1

 

donc limn+f(un)=1 et limn+f(vn)=1

Si f était continue en 0, on devrait avoir :

limn+f(un)=f(0)
C'est-à-dire : 1=λ
De même, on devrait avoir :

limn+f(vn)=f(0)
C'est-à-dire : 1=λ
C'est-à-dire : 1=1
D'où une contradiction. Doncf n'est pas continue en 0.

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