Continuité
Limite d'une suite et fonction continue
1. Théorème Suites et applications continues
Soit(un) une suite d'éléments de I qui converge vers un réel l∈I.
Alors la suite f(un) converge vers f(l), autrement dit :lim.
L'idée de ce théorème est que pour que l'on puisse permuter les symboles f et lim, il suffit que f soit continue.
Exemples
Exemple 1 : cas où f est continue. Déterminer la limite de la suite (v_n) définie, pour n \in \mathbb{N} ^{\star}, par : v_n = \sqrt{ n .\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)}
Remarque: Cette suite est bien définie; en effet on a n \geq 1 ; ainsi 0<\dfrac{1}{n}\leq 1 ; puis \sin\left( \dfrac{1}{n}\right)\leq 1 car \sin(t)\leq 1 si t \in ] 0;1].
Ecrivons : n \sin \left(\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{\sin\left (\dfrac{1}{n}\right )}{\dfrac{1}{n}}
Or, on sait que \displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)=1
donc : \displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(\dfrac{\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}} \right)=1
D'où : \displaystyle\lim_{n \to + \infty}n\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)=1
Par ailleurs, l'application x \mapsto \sqrt x est continue en 0, par conséquent :
\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\sqrt{n\sin\left( \dfrac{1}{n}\right)}=\sqrt 1 =1
Exemple 2 : cas où f n'est pas continue. Déterminer la limite de la suite (v_n ) définie, pour n \in \mathbb{N} ^{\star}, par : v_n = E\left( 1- \dfrac{1}{n}\right)
On sait que : \displaystyle\lim_{n \to + \infty}(1-\dfrac{1}{n})=1
Malheureusement, la fonction E n'est pas continue en 1. Le théorème précédent ne peut donc s'appliquer... Et la suite (v_n) ne converge pas vers 1 mais vers 0. En effet, pour tout n \in \mathbb{N} ^{\star}, on a :
0 \leq 1 - \dfrac{1}{n} < 1
Donc, pour tout n \in\mathbb{N} ^{\star} : E \left(1- \dfrac{1}{n})\right)=0
La suite (v_n) est donc constante égale à 0. Donc sa limite est 0.
On considère les deux suites (u_n) et (v_n) définies par : u_n =\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2n.\pi} et v_n= \dfrac{1}{-\frac{\pi}{2}+2n.\pi}
On a :\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=0 et :\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n=0
Or, f(u_n) = \sin(\frac{\pi}{2}+2n.\pi)=1 etf(v_n) = \sin(-\frac{\pi}{2}+2n.\pi)= -1
donc \displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(u_n) = 1 et \displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(v_n) = 1
Si f était continue en 0, on devrait avoir :
\displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(u_n) =f(0)
C'est-à-dire : 1 = \lambda
De même, on devrait avoir :
\displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(v_n) =f(0)
C'est-à-dire : -1 = \lambda
C'est-à-dire : -1 =1
D'où une contradiction. Doncf n'est pas continue en 0.
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