Continuité
Limite d'une suite et fonction continue
1. Théorème Suites et applications continues
Soit(un) une suite d'éléments de I qui converge vers un réel l∈I.
Alors la suite f(un) converge vers f(l), autrement dit :limn→+∞f(un)=f(l).
L'idée de ce théorème est que pour que l'on puisse permuter les symboles f et lim, il suffit que f soit continue.
Exemples
Exemple 1 : cas où f est continue. Déterminer la limite de la suite (vn) définie, pour n∈N⋆, par :vn=√n.sin(1n)
Remarque: Cette suite est bien définie; en effet on a n≥1 ; ainsi 0<1n≤1; puis sin(1n)≤1 car sin(t)≤1 si t∈]0;1].
Ecrivons : nsin(1n)=sin(1n)1n
Or, on sait que limx→0(sinxx)=1
donc : limn→+∞(sin(1n)1n)=1
D'où : limn→+∞nsin(1n)=1
Par ailleurs, l'application x↦√x est continue en 0, par conséquent :
limn→+∞√nsin(1n)=√1=1
Exemple 2 : cas où f n'est pas continue. Déterminer la limite de la suite (vn ) définie, pour n∈N⋆, par : vn=E(1−1n)
On sait que :limn→+∞(1−1n)=1
Malheureusement, la fonction E n'est pas continue en 1. Le théorème précédent ne peut donc s'appliquer... Et la suite (vn) ne converge pas vers 1 mais vers 0. En effet, pour tout n∈N⋆, on a :
0≤1−1n<1
Donc, pour tout n∈N⋆ : E(1−1n))=0
La suite (vn) est donc constante égale à 0. Donc sa limite est 0.
On considère les deux suites (un) et (vn) définies par : un=1π2+2n.π et vn=1−π2+2n.π
On a :limn→+∞un=0 et :limn→+∞vn=0
Or, f(un)=sin(π2+2n.π)=1 etf(vn)=sin(−π2+2n.π)=−1
donc limn→+∞f(un)=1 et limn→+∞f(vn)=1
Si f était continue en 0, on devrait avoir :
limn→+∞f(un)=f(0)
C'est-à-dire : 1=λ
De même, on devrait avoir :
limn→+∞f(vn)=f(0)
C'est-à-dire : −1=λ
C'est-à-dire : −1=1
D'où une contradiction. Doncf n'est pas continue en 0.
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