Baccalauréat S Polynésie 19 juin 2019
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Exercice 1 5 points
Les probabilités demandées seront arrondies à 0,01.
Un commerçant vient de s'équiper d'un distributeur de glaces à l'italienne.
- La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l'italienne est modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement positif (on rappelle que la fonction fde densité de la loi exponentielle est donnée sur [0;+∞[ par f(x)=λe−λx. Le vendeur de l'appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c'est-à-dire l'espérance mathématique de X, est de 10 mois.
- Justifier que λ=0,1.
- Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l'italienne n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois.
- Sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fm de la première annéeb? Justifier.
- Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l'italienne au bout d'un temps t, exprimé en mois, qui vérifie que la probabilité de l'évènement (X>t) est égale à 0,05. Déterminer la valeur de t arrondie à l'entier.
- La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l'italienne dont la masse est comprise entre 55 g et 65 g. On considère la variable aléatoire M représentant la masse, en grammes, d'une glace distribuée. On admet que M suit la loi normale d'espérance 60 et d'écart-type 2,5.
- Calculer la probabilité que la masse d'une glace à l'italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre 55 g et 65 g.
- Déterminer la plus grande valeur de m, arrondie au gramme près, telle que la probabilité P(M⩾m) soit supérieure ou égale à 0,99.
- Le distributeur de glaces à l'italienne permet de choisir un seul des deux parfums: vanille ou fraise. Pour mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçant fait l'hypothèse qu'il y aura en proportion deux acheteurs de glace à la vanille pour un acheteur de glace à la fraise. Le premier jour d'utilisation de son distributeur, il constate que sur 120 consommateurs, 65 ont choisi de la glace à la vanille. Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse ? Justifier.
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