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Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2013 - Correction Spécialité

Page 10 sur 10: Correction Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A
On considère l'algorithme suivant :
A et Xsont des nombres entiers  Saisir un entier positif A Affecter à X la valeur de A Tant que X supérieur ou égal à 26 Affecter à X la valeur X26 Fin du tant que  Afficher X

  1. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 3 ?
  2. Si on saisit le nombre 3, l’algorithme affiche 3.
  3. Qu'affiche cet algorithme quand on saisit le nombre 55 ?
  4. Si on saisit le nombre 55 l’algorithme affiche 3.
  5. Pour un nombre entier saisi quelconque, que représente le résultat fourni par cet algorithme?
  6. Cet algorithme fournit le reste de la division euclidienne de A par 26.


Partie B
On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante (détaillée en quatre étapes) :
Étape 1 : chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous:
ABCDEFGHIJKLM0123456789101112NOPQRSTUVWXYZ13141516171819202122232425

On obtient une matrice colonne (x1x2)x1 correspond à la première lettre du mot et x2 correspond à la deuxième lettre du mot.

Étape 2 : (x1x2) est transformé en (y1y2) tel que
(y1y2)=(3152)(x1x2)
La matrice C=(3152) est appelée la matrice de codage.

Étape 3 : (y1y2) est transformé en (z1z2) tel que {z1y1(26)avec0z125z2y2(26)avec0z225
Étape 4 : (z1z2) est transformé en un bloc de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
 Exemple : RE (174)(5593)(315) DP Le bloc RE est donc codé en DP Justifier le passage de (174) à (5593) puis à (315).

  • Étape 1 : RE (174) en utilisant le tableau
  • Étape 2 :(174) est transformé en (y1y2) tel que
    (y1y2)=(3152)(174)=(3×17+1×45×17+2×4)=(5593)
  • Étape 3 : {553(26)avec03259315(26)avec01325
  • Étape 4 :(315) DP  en utilisant le tableau
    On a donc bien :  RE (174)(5593)(315) DP Le bloc RE est donc codé en DP
  1. Soient x1,x2,x1,x2 quatre nombres entiers compris entre 0 et 25 tels que (x1x2) et (x1x2) sont transformés lors du procédé de codage en (z1z2).
    1. Montrer que {3x1+x23x1+x2(26)5x1+2x25x1+2x2(26).
    2. On a donc y1=3x1+x2 et y2=5x1+2x2 ainsi que y1=3x1+x2 et y2=5x1+2x2.
      Or z1y1 (26) et z1y1 (26) par conséquent y1y1 (26).
      D’où 3x1+x23x1+x2 (26).
      De même z2y2 (26) et z2y2 (26) par conséquent y2y2 (26)
      Et 5x1+2x25x1+2x2 (26).
    3. En déduire que x1x1(26) et x2x2(26) puis que x1=x1 et x2=x2.
    4. On appelle L1 la ligne 3x1+x23x1+x2 (26) et L2 la ligne 5x1+2x25x1+2x2 (26).
      Alors 2l1L2 donne x1x1 (26) et 3L25L1 donne x2x2 (26).
      Les nombres x1, x2, x1 et x2 sont des entiers compris entre 0 et 25.
      Par conséquent ils sont égaux à leur reste dans la division euclidienne par 26.
      Cela signifie donc que x1=x1 et x2=x2.
  2. On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP :
    1. Vérifier que la matrice C=(2153) est la matrice inverse de C.
    2. C×C=(1001). Par conséquent C est bien la matrice inverse de la matrice C.
    3. Calculer (y1y2) tels que (y1y2)=(2153)(315).
    4. (y1y2)=(2×31×155×3+3×15)=(930)
    5. Calculer (x1x2) tels que {x1y1(26)avec0x125x2y2(26)avec0x225
    6. Alors 9=26+17 donc x1=17 et 30=26+4 d’où x2=4.
    7. Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?
    8. On peut donc conjecturer que {x12y1y2 (26)avec 0x125x25y1+3y2 (26)avec 0x225
  3. Dans cette question nous allons généraliser ce procédé de décodage. On considère un bloc de deux lettres et on appelle z1 et z2 les deux entiers compris entre 0 et 25 associés à ces lettres à l'étape 3. On cherche à trouver deux entiers x1 et x2 compris entre 0 et 25 qui donnent la matrice colonne (z1z2) par les étapes 2 et 3 du procédé de codage. Soient y1 et y2 tels que (y1y2)=C(z1z2)C=(2153).
    Soient x1 et x2, les nombres entiers tels que {x1y1(26)avec0x125x2y2(26)avec0x225
    Montrer que {3x1+x2z1(26)5x1+2x2z2(26).. Conclure.
  4. 3x1+x26y13y25y1+3y2y1z1 (26)
    5x1+2x210y15y210y1+6y2y2z2 (26)
    Par conséquent (x1x2) est bien le couple de nombres initial ayant permis d’obtenir (y1y2) à l’aide du procédé de codage.
  5. Décoder QC.
  6. QC(162)
    Alors y1=16×21×2=30 et y2=5×16+3×2=74.
    Par conséquent x1=4 et x2=4.
    Le code QC provenait donc de EE.

 

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