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Bac STI2D Antilles-Guyane 16 juin 2016 - Exercice 2

Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Uncategorised.

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Exercice 2 7 points


Fonction exponentielle, calcul intégral


Sur le graphique ci-dessous, C est la courbe représentative, dans le repère orthonormé (O, →ı, →ȷ), d'une fonction f définie sur R.

Partie A - Étude graphique


La droite T est tangente à C au point A(2,5 ; 1,5) et d'ordonnée à l'origine 2,75. L'axe des abscisses est asymptote horizontale à C au voisinage de +∞. Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :

  1. f(1) ;
  2. f′(2,5) ;
  3. Une équation de la tangente T ;
  4. limx→+∞f(x).

 

Partie B - Modélisation


On admet qu'il existe deux réels a et b tels que : pour tout réel x,f(x)=(ax+b)e−x+2,5.

  1. Calculer f′(x) en fonction de a et b.
  2. Exprimer en fonction des réels a et b les nombres suivants : f(1);f′(2,5).
  3. Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par a et b.
  4. Résoudre ce système et en déduire l'expression de f(x) en fonction de x.

 

Partie C - Étude algébrique


On admet que pour tout réel x,f(x)=(x−1)e−x+2,5.

  1. Déterminer la limite de f en −∞.
    1. Montrer que pour tout réel x, f(x)=e2,5(xex−1ex).
    2. Déterminer la limite de f en +∞.
    1. Calculer f′(x) pour tout réel x.
    2. Étudier le signe de f′ et en déduire le tableau des variations de la fonction f en faisant figurer les limites trouvées précédemment.

 

Partie D - Application


On souhaite déterminer l'aire S en unité d'aire de la surface d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil auditif schématisé ci-contre. Une modélisation mathématique a permis de représenter cette surface.

Dans le plan muni du repère orthonormé (O, →ı, →ȷ), cette surface correspond à la partie du plan limitée par :

  • l'axe des abscisses;
  • les droites d'équations x=1 et x=2,5 ;
  • la courbe représentative C de la fonction f étudiée précédemment ;
  • la courbe représentative Cg de la fonction g définie par: pour tout réel x, g(x)=−2x2+12x−16.

      1. Sur l'annexe fournie, hachurer la surface décrite précédemment. Pour déterminer l'aire S de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.
      2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : I=∫2,52g(x)dx.
      3. On souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : J=∫2,51f(x)dx où f est la fonction dont une expression est donnée dans la partie C.
        1. Vérifier qu'une primitive F de la fonction f sur R est la fonction définie par : pour tout réel x,F(x)=−xe−x+2,5.
        2. En déduire la valeur exacte de l'intégrale J.
        1. Déterminer la valeur exacte de l'aire S en unité d'aire,
        2. En déduire la valeur arrondie à 10−2 de l'aire S en unité d'aire.

      Annexe

      Correction Exercice 2
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